معادلة المرايا

معادلة المرايا Mirror equation

يمكن الخصول على مواصفات الصورة بطريقة رياضية بدلا عن استخدام الطريقة البيانية التي تصبح صعبة عند التعامل مع نظام مكون من أكثر من مرآة.

لذلك نستخدم معادلة رياضية تربط بين بعد الجسم عن المرآة d_o وبعد الصورة عن المرآة d_iوالبعد البؤري f.

اشتقاق معادلة المرآة

افترض جسم على بعد مسافة d_o من مرآة مقعرة بحيث d_o بين البعد البؤري ونصف قطر التقعر كما في الشكل التالي:

تتكون صورة الجسم من خلال استخدام شعاعين احدهما يسقط ماراً في البؤرة وينعكس عن المرآة موازياً للمحور الضوئي والثاني يسقط في مركز المرآة عند النقطة A فينعكس بزاوية سقوط تساوي زاوية الانعكاس.

بتجزئة الشكل اعلاه للمسار الضوئي الأول والثاني نحصل على

من الشكل السابق يمكن الحصول على الشكل المبسط التالي ويظهر فيه المثلثين ABV و DCVمتشابهين اذا نحصل على العلاقة التالية

كذلك المثلثين ABF و D’VFمتشابهين ايضا. اذا يكون

بالتقسيم على d_o طرفي المعادلة نحصل على معادلة المرايا.

Mirror equation

حيث ان

f = focal length (m)
d_o = distance from mirror to object (m)
d_i= distance from mirror to image (m)

التكبير Magnification

يعرف التكبير m لمرآة بأنه ارتفاع الصورة hi مقسوماً على ارتفاع الجسم ho، فإذا كان التكبير اكبر من واحد فإن الصورة اكبر من الجسم أما اذا كان التكبير اقل من واحد تكون الصورة اصغر من الجسم.

ولكن مما سبق وجدنا ان النسبة بين hi/ho تساوي النسبة بين di/do وبالتالي فإن التكبير يمكن ان يحسب من المعادلة التالية ايضا اذا توفرت المعلومات لذلك بحيث أن

والأشارة السالبة اضيفت لتحقق مفهوم اصطلاح الاشارة الذي سنشرحه في الموضوع القادم. اذا التكبير يعطى بالمعادلة التالية:

h_i = height of the image (m)
h_o = height of object (m)
m = magnification (how many times bigger or smaller)

اصطلاح الاشارة للمرايا Sign convention for mirrors

اشارة كلا من d_o و d_i تحدد ما إذا كان الجسم او الصورة حقيقي real او تخيلي virtual، بينما تحدد اشارة التكبير اذا ما كانت الصورة معتدلة upright أو مقلوبة inverted وذلك على النحو التالي:

d_o	+	عندما يكون الجسم امام المرآة	الجسم حقيقي real object
d_o	–	عندما يكون الجسم خلف المرآة	الجسم تخيلي virtual object
d_i	+	عندما تكون الصورة خلف المرآة	الصورة حقيقية real image
d_i	–	عندما تكون الصورة امام المرآة	الصورة تخيلية virtual image

اما بالنسبة لاشارة كلاً من f و r فتكون على النحو التالي

r & f	+	عندما يكون البعد البؤري امام المرآة	مرآة مقعرة concave mirror
r & f	–	عندما يكون البعد البؤري خلف المرآة	مرآة محدبة convex mirror

أما بالنسبة لأشارة التكبير M

M	+	تكون الصورة معتدلة upright
M	–	تكون الصورة مقلوبة inverted

سيتضح مفهوم اصطلاح الأشارة من خلال الامثلة المحلولة التالية

Example 1

A 1.5 cm high diamond ring is placed 20 cm from a concave mirror whose radius of curvature is 30 cm. Determine (a) the position of the image, and (b) its size.

Solution

(a)نحسب موقع الصورة من معادلة المرايا

أي ان

بالتعويض عن قيمة f=r/2 نحصل على

تذكر ان ما تم حسابه هو 1/d_i لذلك تكون قيمة d_i

وحيث أن اشارة d_i موجبة مما يعني ان الصورة حقيقية

(b) التكبير يحسب على النحو التالي

h_i = m h_o = -3 x 1.5 = -4.5cm

والاشارة السالبة تفيد أن الصورة تكون مقلوبة

Example 2

A 1cm high object is placed 10cm from a concave mirror whose raduis of curvature is 30cm. (a) Draw a ray diagram to locate the position of the image. (b) Determine the position of the image and the magnification analytically.

Solution

(a) المخطط المطلوب هو

يتضح من المخطط ان الصورة معتدلة مكبرة تخيلية ويمكن ان نصل إلى نفس النتيجة من خلال استخدام معادلة المرايا والتكبير.

(b) موضع الصورة باستخدام معادلة المرايا

أي ان

تدل الأشارة السالبة على ان الصورة تخيلية.

ولحساب التكبير

وهذا يعني ان الصورة أكبر من الجسم بثلاث مرات ومعتدلة

Example 3

A convex rearview car mirror has a radius of curvature of 40 cm. Determine the location of the image and its magnification for an object 10m from the mirror.

Solution

لتوضيح فكرة السؤال نستعين بالرسم التالي:

تكون اشارة البعد البؤري سالبة لانها خلف المرآة وتساوي 40/2 لأن f=r/2

f=r/2=-40/2 =-20cm

نطبق معادلة المرايا للحصول على موقع الصورة

أي ان

وهذا يعني ان الصورة تخيلية وعلى مسافة 19.6cm خلف المرآة.

ولحساب التكبير

أي أن الصورة معتدلة مصغرة.

فاطمة.ع.ح

معادلة المرايا

شارك هذا الموضوع:

مرتبط

أضف تعليق إلغاء الرد